Séminaire de géométrie

Le séminaire de géométrie est organisé par l'équipe de géométrie et dynamique du CMLS.

Organisateurs : Omid Amini et Gerard Freixas

Mercredi 11 décembre 2024 - CMLS

10h-12h – Auguste Hébert (Institut Élie Cartan de Loraine) et Benoît Loisel (Université de Poitiers)

"Lambda-immeubles associés aux groupes quasi-déployés sur des corps lambda-valués"

Soient G un groupe réductif, que nous supposons déployé pour simplifier et K un corps muni d’une valuation omega à valeurs dans R. On peut par exemple prendre G=SL_n et K=Q_p, ou K=k((t)), pour k un corps. En 1972 et 1984, Bruhat et Tits ont associé à G:=G(K) un espace de nature géométrico-combinatoire I=I(G,omega), appelé immeuble de Bruhat-Tits sur lequel G agit. On peut alors étudier G via son action sur son immeuble. Ces immeubles sont très étudiés depuis leur introduction et permettent d’obtenir de nombreuses informations sur G.

Soit maintenant K un corps muni d’une valuation à valeurs dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda. En général, Lambda ne s’injecte pas dans R. Par exemple, si l’on choisit n dans N^* et K=k((t_1))((t_2))...((t_n)), où k est un corps, K est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans Lambda=Z^n, où Z^n est muni de l’ordre lexicographique. En 1994, Bennett et Parshin ont associé à SL_m(K) (ou PGL_m(K)) une sorte d’immeuble sur lequel ce groupe agit, en utilisant une approche « par les réseaux ». Bennett a également généralisé la définition des immeubles de Bruhat-Tits et il définit une notion de Lambda-immeuble. Auguste Hébert, Diego Izquierdo et Benoit Loisel ont récemment associé un Lambda-immeuble à tout groupe réductif déployé sur un tel corps (et même quasi-déployé en faisant des hypothèses supplémentaires sur le corps). La construction est similaire à celle effectuée par Bruhat et Tits, et utilise les sous-groupes « parahoriques ».

Dans une première partie plus introductive, nous décrirons l’immeuble de SL_n et notamment l’arbre de SL_2, en utilisant l’approche par les réseaux, plus concrète. Dans une seconde partie, nous parlerons de la construction de l’immeuble générale, via les parahoriques.

Mercredi 27 novembre 2024 - CMLS

10h-12h – Loïs Faisant (ISTA, Vienne)

"Distribution motivique de courbes et formules de Poisson"

La première heure aura pour but de répondre à une question du type : « comment en sommes-nous arrivé•es là ? ».

On présentera d’abord une motivation historique : la conjecture de Manin, raffinée par Peyre, qui décrit la distribution des points rationnels sur les variétés de type Fano. En faisant usage d’une formule de Poisson sur les Idèles, Batyrev et Tschinkel ont démontré celle-ci pour les variétés toriques dans les années 90. Ce résultat est l’un de nos points de départ.

Puis on formulera les versions géométriques et motiviques, lesquelles décrivent la distribution de courbes rationnelles sur ces variétés. Notamment, au début des années 2000, le résultat de Batyrev et Tschinkel a été étendu aux corps de fonction de charactérique positive par David Bourqui : voilà un second point de départ.

On conclura par un exemple simple qui achèvera — on l’espère — la démystification de l’adjectif ‘motivique’.

Dans la seconde partie, on discutera d’un travail en cours avec Margaret Bilu, dans lequel nous développons une formule de Poisson motivique pour les tores algébriques, et de son application aux problème de comptage motivique de courbes sur les variétés toriques.

Mercredi 20 novembre 2024 - CMLS

10h-12h – Amina Abdurrahman (IHES)

"A formula for symplectic L-functions and Reidemeister torsion"

We give a global cohomological formula for the central value of the L-function of a symplectic representation on a curve up to squares. The proof relies crucially on a similar formula for the Reidemeister torsion of 3-manifolds together with a symplectic local system. We sketch both analogous arithmetic and topological pictures. This is based on joint work with A. Venkatesh.

Mercredi 23 octobre 2024 - CMLS

10h-12h – Bram Petri (IMJ-PRG)

« Surfaces hyperboliques aléatoires de grande systole»

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

Mercredi 9 octobre 2024 - CMLS

10h-11h – Dan Corey (Université de Las Vegas) :

« Singular matroid realization spaces »

Abstract : By Mnëv's universality theorem, every singularity type appears in the realization spaces of a rank 3 matroid. While the proofs of this theorem are constructive, the resulting matroids have large ground sets even for the simplest singularities. I will present recent joint work with Dante Luber (TU Berlin) where we show that, over the complex numbers, the realization spaces of rank 3 matroids on ≤ 11 elements are all smooth, but there are singular realization spaces for matroids on ≥ 12 elements. We use this result to show that the open Grassmannian is not schön in the sense of Tevelev.

11h15-12h15 – Leonid Monin (EPFL, Lausanne)

« Space of complete quadrics as non-commutative permutohedral variety»

The space of complete quadrics is a compactification of the space of non-degenerate quadrics in the projective space. It was introduced by Chasles in dimension 3 and generalized by Schubert in order to count smooth quadrics satisfying certain geometric conditions often referred to as characteristic numbers.

The permutohedral variety is a toric variety corresponding to the polytope called the permutohedron, whose vertex coordinates represent the permutations of the first n natural numbers. Among other applications, permutohedral variety plays a central role in the recent works by Huh and collaborators on the characteristic polynomials of matroids.

In my talk, I will explain a connection between space of complete quadrics and permutohedral variety as well as between characteristic numbers for linear systems of quadrics and characteristic polynomials of matroids. I will conclude with a polynomiality result for characteristic numbers recently obtained in a joint work with Manivel, Michałek, Seynnaeve and Vodička.

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