Séminaire MEGA (Matrices et Graphes Aléatoires) 6 décembre 2024
Titre: Énumération de cartes planaires: des intégrales matricielles aux fractions continues
Résumé: Une carte planaire est un graphe connexe dessiné sur la sphère sans croisement d'arêtes, et considéré à déformation près. On peut plus généralement considérer des cartes sur des surfaces de genre plus élevé. Depuis l'article fondateur de Brézin, Parisi, Itzykson et Zuber de 1978, il est bien connu que les questions de comptage de cartes sont intimemement liées à des modèles de matrices aléatoires. Nous reverrons brièvement quelques résultats classiques à ce sujet (développement topologique, équations de Tutte, méthode des polynômes orthogonaux...) en nous focalisant sur l'exemple le plus simple des quadrangulations. Je parlerai ensuite d'une connexion moins connue entre cartes planaires et fractions continues. Nous y verrons apparaître d'autres polynômes orthogonaux et des équations discrètes intégrables, caractérisant la loi de la distance de graphe entre deux points uniformes d'une carte planaire aléatoire. D'après des travaux effectués en collaboration avec E. Guitter, M. Albenque et S. Tarricone.
14h15-15h15: exposé d'Alice Contat
Titre: Coeurs critiques de graphes aléatoires
Résumé: Motivés par le désir de construire de grands ensembles indépendants dans les graphes aléatoires, Karp et Sipser ont modifié la construction gloutonne habituelle pour produire un algorithme qui produit un ensemble indépendant avec un grand cardinal, les sommets restants formants un ensemble appelé le coeur de Karp-Sipser. Lorsqu’il est exécuté sur le graphe aléatoire d’Erdös-Rényi $G(n,c/n)$, cet algorithme est optimal tant que $c < \mathrm{e}$. Nous présenterons la preuve d’une conjecture physique de Bauer et Golinelli (2002) affirmant qu’à la criticité, la taille du coeur de Karp-Sipser est de l’ordre de $n^{3/5}$. En cours de route, nous mettrons en évidence les similitudes et les différences avec l’algorithme glouton habituel pour le $k$-coeur. Basé sur un travail commun avec Thomas Budzinski.
15h30-16h30: exposé de Charles Bertucci
Abstract: In this talk, I will review some classical question of random matrices theory, especially on the Dyson Brownian motion and its mean field limit, through classical tools of PDE. In particular, I will insist upon the convergence of the empirical spectral measure toward its mean-field limit and the large deviations of this convergence. The methods I will present rely heavily on stability results on several non-linear PDEs, results which are new in the field of random matrices. This talk is based on different collaborations with M. Debbah, JM Lasry, PL Lions and PE Souganidis.
Ce planning sera très bientôt disponible à l'adresse https://www.ceremade.dauphine.fr/dokuwiki/mega:seminaire
Les organisateurs : Guillaume Dubach et Raphaël Butez