Séminaire Algèbre et Arithmétique - Salle de conférences du CMLS - 14h

14h – Manh Linh Nguyen

"La bonté algébrique de produits amalgamés"

Résumé : Un groupe proalgébrique (sur un corps) est par définition un schéma en groupes affines (pas forcément de type fini). Contrairement à la cohomologie de groupes abstraits, la cohomologie (à la Hochschild) de groupes proalgébriques se comporte mieux : par exemple, elle commute aux colimites filtrantes. À tout groupe abstrait $G$ est associé un "complété proalgébrique" $G^{alg}$, caractérisé par la propriété que la catégorie des représentations de dimension finie de $G$ équivaut à celle des représentations (au sens algébrique) de dimension finie de G^{alg}. Il est naturel de comparer les deux théories de cohomologie associées à $G$ et à $G^{alg}$. Si les deux coïncident, on dira que $G$ est algébriquement bon. Il s'agit d'une notion due à Katzarkov--Pantev--To\{"e}n, qui généralise la même notion de Serre du contexte de groupes profinis. Je présenterai un nouvel outil permettant de démontrer la bonté algébrique d'un produit amalgamé (éventuellement infini) de groupes algébriquement bons. C'est le cas par exemple pour le groupe $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) = (\mathbb{Z}/4) \ast_{\mathbb{Z}/2} (\mathbb{Z}/6)$ ou en core un groupe libre infiniment engendré. La méthode déployée est inspirée par le rafistolage ("patching") en géométrie arithmétique.