Séminaire de géométrie le 11 décembre 2024
Soient G un groupe réductif, que nous supposons déployé pour simplifier et K un corps muni d’une valuation omega à valeurs dans R. On peut par exemple prendre G=SL_n et K=Q_p, ou K=k((t)), pour k un corps. En 1972 et 1984, Bruhat et Tits ont associé à G:=G(K) un espace de nature géométrico-combinatoire I=I(G,omega), appelé immeuble de Bruhat-Tits sur lequel G agit. On peut alors étudier G via son action sur son immeuble. Ces immeubles sont très étudiés depuis leur introduction et permettent d’obtenir de nombreuses informations sur G.
Soit maintenant K un corps muni d’une valuation à valeurs dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda. En général, Lambda ne s’injecte pas dans R. Par exemple, si l’on choisit n dans N^* et K=k((t_1))((t_2))...((t_n)), où k est un corps, K est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans Lambda=Z^n, où Z^n est muni de l’ordre lexicographique. En 1994, Bennett et Parshin ont associé à SL_m(K) (ou PGL_m(K)) une sorte d’immeuble sur lequel ce groupe agit, en utilisant une approche « par les réseaux ». Bennett a également généralisé la définition des immeubles de Bruhat-Tits et il définit une notion de Lambda-immeuble. Auguste Hébert, Diego Izquierdo et Benoit Loisel ont récemment associé un Lambda-immeuble à tout groupe réductif déployé sur un tel corps (et même quasi-déployé en faisant des hypothèses supplémentaires sur le corps). La construction est similaire à celle effectuée par Bruhat et Tits, et utilise les sous-groupes « parahoriques ».
Dans une première partie plus introductive, nous décrirons l’immeuble de SL_n et notamment l’arbre de SL_2, en utilisant l’approche par les réseaux, plus concrète. Dans une seconde partie, nous parlerons de la construction de l’immeuble générale, via les parahoriques.