Séminaire de géométrie - Salle de conférences du CMLS - 10h
10h – Michele Ancona (Université Côte d'Azur)
« Aspects métriques et spectraux des courbes planes aléatoires»
Résumé : Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.
13h30 – Adrien Kassel (ENS Lyon)
« Sous-graphes aléatoires déterminantaux»
Résumé : Je présenterai une correspondance entre la grassmannienne de l’espace des 1-formes d’un graphe fini connexe et l’ensemble des mesures de probabilité déterminantales sur ses sous-graphes couvrants. Un exemple central est la mesure uniforme sur les arbres couvrants, correspondant aux 1-formes exactes (théorème de Burton et Pemantle).
En présence de poids positifs sur les arêtes, les fonctions de partition associées aux mesures correspondant à des sous-espaces contenant ou contenus dans l’espace des 1-formes exactes se calculent précisément et généralisent les polynômes de Kirchhoff et de Symanzik issus de la théorie quantique des champs.
Des liens avec la géométrie apparaissent dans au moins deux contextes :
Lorsque le graphe est réalisé comme le 1-squelette d’une décomposition cellulaire d’une surface, ces polynômes s’interprètent en termes d’invariants géométriques (travaux très récents de Wayne Lam et al.).
Lorsque le graphe pondéré est considéré comme un modèle discret de surface — c’est-à-dire comme un graphe métrique au sens de la géométrie tropicale — d’autres interprétations émergent, notamment grâce aux travaux d’Omid Amini et al. sur la limite à grande échelle des surfaces.
Si le temps le permet, j’évoquerai également les extensions de cette correspondance probabiliste à des complexes de dimension supérieure, éventuellement munis de fibrés vectoriels de rang arbitraire, deux contextes dans lesquels la combinatoire est plus compliquée, et ma compréhension des liens avec la géométrie reste encore balbutiante.
Il s’agit d’un travail en commun avec Thierry Lévy.