Séminaire Laurent Schwartz - Salle de conférences du CMLS - 11h
Le séminaire aura lieu le 5 mai à l'École polytechnique - Salle de conférences du CMLS
10h45-11h45 – Emmanuel Grenier (Chinese Academy of Science)
«Stabilité des couches limites»
13h30-14h30 – Rémi Carles (IRMAR - Rennes)
«Dépendance du flot de l'équation de Schrödinger non linéaire par rapport à la non-linéarité»
Nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (les solutions sont globales), et examinons la continuité par rapport à la puissance, dans différents espaces fonctionnels. Un cas limite, qui motive ce travail et constitue la partie la plus délicate, correspond à la convergence vers l'équation de Schrödinger logarithmique. La preuve repose sur une étude fine de certaines équations différentielles, ainsi qu'un passage en formulation fluide, amenant in fine à travailler avec une équation de Fokker-Planck. L'exposé est basé sur un travail en commun avec Quentin Chauleur et Guillaume Ferriere.
15h00-16h00 – Jakob Möller (CMLS - École polytechnique)
«The semiclassical limit of the Dirac equation»
The Dirac equation was discovered by Paul Dirac in 1928 in order to find a first-order in time Lorentz-invariant Schrödinger equation for particles with half-integer spin. He discovered that the scalar wave function of the Schrödinger equation had to be replaced by a 4-component vector-valued wave function, which includes the two spin states of a charged fermion and predicted its antiparticle. The vector-valued nature implies that the Dirac operator is matrix-valued. In order to treat the semiclassical limit we transform the Dirac equation into the Wigner equation for the matrix-valued Wigner transform, which converges to the positive definite Wigner matrix measure. The latter obeys a matrix-valued Liouville equation where the oscillating part of the Wigner equation converges to a Lagrange multiplier that maintains the constraint that the Wigner matrix commutes with the Weyl symbol of the Dirac operator. The relativistic Vlasov equations for the electron and positron can then be recovered by projecting the Wigner matrix on the eigenspaces of the Dirac symbol and taking the trace over the spin components.