Séminaire Variétés rationnelles - CMLS

11h: Anis Zidani (Christian-Albrechts-Universität zu Kiel).

Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Soit un groupe réductif G sur K = Frac(R), on dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.

Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 

Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 

La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 

Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.

Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

14h: Sam Streeter (University of Bristol).

Semi-integral points on toric varieties.

I will report on recent joint work with Alec Shute in which we establish asymptotics for “semi-integral” (Campana and Darmon) points of bounded height on Campana orbifolds. Our work supports Manin-type conjectures of Pieropan—Smeets—Tanimoto—Várilly-Alvarado and Chow—Loughran—Takloo-Bighash—Tanimoto in this setting. Of particular interest is the appearance of the so-called “Campana Brauer group” in the leading constant.

15h30: Anna Cadoret (Sorbonne Université).

Trivial locus of l-adic local system.

We will discuss and provide evidence for the following consequence of the unramified Fontaine-Mazur conjecture. Let X be a variety over a number field and V a l-adic local system on X. If there exists a closed point x on X such that the pull-back x^*V is finite (viz the corresponding Galois rep has finite image) then V itself is finite. We obtain partial results, using a mix of (variational) p-adic Hodge theory and companions plus a "point-wise to global" principle for the properties of being unramified and tamely ramified. This is a joint work with Akio Tamagawa.