Variétés rationnelles

Le séminaire aura lieu le jeudi 14 novembre au CMLS

11h: Michael Stoll (Université de Bayreuth).

Conjectural asymptotics of prime orders of points on elliptic curves over number fields

Define, for a positive integer $d$, $S(d)$ to be the set of all primes $p$ that occur as the order of a point $P \in E(K)$ on an elliptic curve $E$ defined over a number field $K$ of degree $d$. We discuss how some plausible conjectures on the sparsity of newforms with certain properties would allow us to deduce a fairly precise result on the asymptotic behavior of $\max S(d)$ as $d$ tends to infinity.

This is joint work with Maarten Derickx.

14h: Adam Morgan (University of Cambridge).

Hasse principle for intersections of two quadrics via Kummer surfaces

I will discuss recent work with Skorobogatov in which we establish the Hasse principle for a broad class of degree 4 del Pezzo surfaces (including all those with irreducible characteristic polynomial), conditional on finiteness of Tate--Shafarevich groups of abelian surfaces. A corollary of this work is that the Hasse principle holds for smooth complete intersections of two quadrics in P^n for n\geq 5, conditional on the same conjecture. This was previously known by work of Wittenberg assuming both finiteness of Tate--Shafarevich groups of elliptic curves and Schinzel's hypothesis (H). 

I will also discuss forthcoming work with Lyczak which, again under the Tate--Shafarevich conjecture, shows that the Brauer--Manin obstruction explains all failures of the Hasse principle for certain degree 4 del Pezzo surfaces about which nothing was known previously.  

15h30: Emiliano Ambrosi (Université de Strasbourg).

Un critère d'Artin et Mumford pour les fibrés en coniques en caractéristique 2

Dans les années 70, Artin et Mumford ont montré un critère d'irrationalité pour un fibré en coniques sur un corps de caractéristique différente de 2 et ils ont construit des exemples sur lesquels il peut être utilisé. 

Dans un travail en cours avec Giuseppe Ancona, on prouve un analogue en caractéristique 2 et on trouve des exemples auxquels s'applique.

Le séminaire aura lieu le vendredi 28 mars au CMLS

11h: Anis Zidani (Christian-Albrechts-Universität zu Kiel).

Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Soit un groupe réductif G sur K = Frac(R), on dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.

Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 

Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 

La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 

Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.

Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

14h: Sam Streeter (University of Bristol).

Semi-integral points on toric varieties.

I will report on recent joint work with Alec Shute in which we establish asymptotics for “semi-integral” (Campana and Darmon) points of bounded height on Campana orbifolds. Our work supports Manin-type conjectures of Pieropan—Smeets—Tanimoto—Várilly-Alvarado and Chow—Loughran—Takloo-Bighash—Tanimoto in this setting. Of particular interest is the appearance of the so-called “Campana Brauer group” in the leading constant.

15h30: Anna Cadoret (Sorbonne Université).

Trivial locus of l-adic local system.

We will discuss and provide evidence for the following consequence of the unramified Fontaine-Mazur conjecture. Let X be a variety over a number field and V a l-adic local system on X. If there exists a closed point x on X such that the pull-back x^*V is finite (viz the corresponding Galois rep has finite image) then V itself is finite. We obtain partial results, using a mix of (variational) p-adic Hodge theory and companions plus a "point-wise to global" principle for the properties of being unramified and tamely ramified. This is a joint work with Akio Tamagawa.